himpunan

PENGERTIAN

Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.

Contoh:

* Himpunan siswi kelas III SMU Tarakanita tahun 1999-2000 yang nilai IQ-nya diatas 120.
* Himpunan bilangan-bilangan bulaT diantara 10 dan 500 yang habis dibagi 7

Himpunan hanya membicarakan objek-objek yang berlainan saja.

1. Metode Roster
yaitu dengan menuliskan semua anggota himpunan di dalam
tanda kurung {...........}
contoh: himpunan bilangan ganjil N = {1,3,5,7,9,.......}

2. Metode Rule
yaitu dengan menyebutkan syarat keanggotaannya
contoh: N = {x½x adalah bilangan asli}

ISTILAH-ISTILAH PADA HIMPUNAN
1. Elemen (Anggota) notasi : Î
setiap unsur yang terdapat dalam suatu himpunan disebut
elemen/anggota himpunan itu.
contoh:
A ={a,b,c,d}
a Î A (a adalah anggota himpunan A)
e Ï A (e bukan anggota himpunan A)


2. Himpunan kosong 9999999999999notasi : f atau {}
yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota
contoh :
A = { x | x² = -2; x riil}
A = f


3. Himpunan semestafgf fgfgfgfggffgfnotasi : S
yaitu himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan
contoh :
K = {1,2,3}
S = { x | x bilangan asli } atau
S = { x | x bilangan cacah } atau
S = { x | x bilangan positif } dsb.

HUBUNGAN ANTARA HIMPUNAN

1. Himpunan bagian notasi : Ì atau É

Himpunan A adalah himupnan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota A adalah anggota B.

Ditulis : A Ì Bf atau B É A

contoh:
A={a,b}; B={a,b,c}; C={a,b,c,d}
maka A Ì B ; A Ì C ; B Ì C

ketentuan :

* himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sembarang
* himpunan ( f Ì A )himpunan A adalah himpunan bagian dari
* himpunan A sendiri ( A Ì A)jika anggota himpunan A ada sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah HB = 2n

HB = 2n

contoh:
jika A = {a,b,c}
maka himpunan bagian dari A adalah :
{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} dan f

seluruhnya ada 2³ = 8

POWER SET 2s
himpunan yang elemennya adalah himpunan-himpunan bagian dari S

contoh:
S = {a,b,c}
2s = { {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, f }


2. Himpunan sama ttttttttttt notasi : =

Dua himpunan A dan B adalah sama, jika setiap elemen A adalah elemen B, dan setiap elemen B adalah elemen A.

Ditulis A = B

contoh:
K = {x | x²-3x+2=0}
L = {2,1}
maka K = L


3. Himpunan lepas ttttttttttt notasi : //

Dua himpunan A dan B disebut saling lepas, jika himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B.

Ditulis A // B

contoh:
A = {a,b,c}
B = {k,l,m}
Maka A // B



OPERASI PADA HIMPUNAN
1. Gabungan (union) notasi : È

Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang menjadi anggota A atau menjadi anggota B.

A È B = { x | x Î A atau x Î B }


Gbr. Diagram Venn
daerah yang diarsir menyatakan A È B

contoh:
A = {1,2,3}
B = {0,2,4}
Maka A È B = {0,1,2,3,4}


2. Irisan (intersection) notasi : Ç

Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B.

A Ç B = { x | x Î A dan x Î B }


Gbr. Diagram Venn
daerah yang diarsir menyatakan A Ç B

contoh:
A={1,2,3,4}
B={3,4,5}
maka A Ç B = {3,4}


3. Selisih notasi : -

Selisih antara dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota A yang bukan anggota B.

A - B = { x | x Î A dan x Ï B }


Gbr. Diagram Venn
daerah yang diarsir menyatakan A - B

contoh:
A = {1,2,3,4,5}
B = {2,4,6,7,10}
Maka A - B = {1,3,5}

_
4. Komplemen notasi: A', Ac, A

Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan S yang bukan anggota A.

A' = { x | x Î S dan x Ï A }


Gbr. Diagram Venn
daerah yang diarsir menyatakan A'

contoh:
S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A = {1,2,3,4,5}
Maka A' = {6,7,8,9,10}


SIFAT-SIFAT HIMPUNAN
1. Komutatif

A Ç B = B Ç A
A È B = B È A


2. Asosiatif

A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C
A È (B È C) = (A È B) È C


3. Distributif

A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)



4. De Morgan
(A È B)= A Ç B
____ _
(A Ç B)= A È B

SKEMA BILANGAN
1. Himpunan bagian notasi : Ì atau É

Himpunan A adalah himupnan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota A adalah anggota B.

Ditulis : A Ì Bf atau B É A

contoh:
A={a,b}; B={a,b,c}; C={a,b,c,d}
maka A Ì B ; A Ì C ; B Ì C

ketentuan :

* himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sembarang
* himpunan ( f Ì A )himpunan A adalah himpunan bagian dari
* himpunan A sendiri ( A Ì A)jika anggota himpunan A ada sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah HB = 2n

HB = 2n

contoh:
jika A = {a,b,c}
maka himpunan bagian dari A adalah :
{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} dan f

seluruhnya ada 2³ = 8

POWER SET 2s
himpunan yang elemennya adalah himpunan-himpunan bagian dari S

contoh:
S = {a,b,c}
2s = { {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, f }


2. Himpunan sama ttttttttttt notasi : =

Dua himpunan A dan B adalah sama, jika setiap elemen A adalah elemen B, dan setiap elemen B adalah elemen A.

Ditulis A = B

contoh:
K = {x | x²-3x+2=0}
L = {2,1}
maka K = L


3. Himpunan lepas ttttttttttt notasi : //

Dua himpunan A dan B disebut saling lepas, jika himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B.

Ditulis A // B

contoh:
A = {a,b,c}
B = {k,l,m}
Maka A // B